Медіана трикутника
 |
Медіана і висота трикутника - це одна з найбільш захоплюючих і цікавих тем геометрії. Термін «Медіана» означає пряму або відрізок, який з'єднує вершину трикутника з його протилежною стороною. Іншими словами, медіана - це лінія, яка проходить з середини однієї сторони трикутника в протилежну вершину цього ж трикутника. Оскільки у трикутника тільки три вершини і три сторони, значить і медіани може бути тільки три.
Властивості медіани трикутника
- Всі медіани трикутника перетинаються в одній точці і розділяються цією точкою у співвідношенні 2: 1, рахуючи від вершини. Таким чином, якщо намалювати в трикутнику всі три медіани, то точка їх перетину буде ділити їх на дві частини. Частина, яка розташовується ближче до вершини, становитиме 2/3 всієї лінії, а частина, яка розташовується ближче до сторони трикутника - 1/3 лінії. Перетинаються медіани в одній точці.
- Три медіани, проведені в одному трикутнику, ділять цей трикутник на 6 маленьких трикутників, чия площа буде дорівнює.
- Чим більше сторона трикутника, від якої виходить медіана, тим менше ця медіана. І навпаки, найкоротша сторона має найдовшу медіану.
- Медіана в прямокутному трикутнику має ряд власних характеристик. Наприклад, якщо навколо такого трикутника описати коло, яка проходитиме через усі вершини, то медіана прямого кута, проведена до гіпотенузи, стане радіусом описаного кола (тобто її довжина становитиме відстань від будь-якої точки окружності до її центру).
Рівняння довжини медіани трикутника
Формула медіани виходить з теореми Стюарта і говорить, що медіана - це квадратний корінь з відносини квадратів суми сторін трикутника, які утворюють вершину, за вирахуванням квадрата сторони, до якої проведена медіана до чотирьох. Іншими словами, щоб дізнатися довжину медіани потрібно звести в квадрат показники довжини кожної сторони трикутника, а потім записати це у вигляді дробу, у чисельнику якого буде сума квадратів сторін, які утворюють кут, звідки виходить медіана, мінус квадрат третьої сторони. В якості знаменника тут виступає цифра 4. Потім з даної дробу потрібно витягти корінь квадратний, і тоді ми отримаємо довжину медіани.
Точка перетину медіан трикутника
Як ми писали вище, всім медіани одного трикутника перетинаються в одній точці. Цю точку називають центром трикутника. Він ділить кожну медіану на дві частини, довжина яких співвідноситься як 2: 1. При цьому центр трикутника є і центром описаної навколо нього кола. А інші геометричні фігури мають власні центри.
Координати точки перетину медіан трикутника
Щоб знайти координати перетину медіан одного трикутника, скористаємося властивістю центроїда, згідно з яким він ділить кожну медіану на відрізки 2: 1. Позначаємо вершини як як A (x1-y1), B (x2-y2), C (x3-y3),
і обчислюємо координати центру трикутника за формулою: x0 = (X1 + x2 + x3) / 3- y0 = (Y1 + y2 + y3) / 3.
Площа трикутника через медіану
Всі медіани одного трикутника ділять цей трикутник на 6 рівних трикутників, а центр трикутника ділить кожну медіану у співвідношенні 2: 1. Тому якщо відомі параметри кожної медіани, можна обчислити і площа трикутника через площу одного з маленьких трикутників, а потім збільшити цей показник у 6 разів.
У випадку з прямокутним трикутником чинимо так. Навколо трикутника описуємо окружність, а ще одну вписуємо в нього. Пам'ятаємо, що площа трикутника дорівнює сумі квадрата радіуса внутрішньої окружності і подвійного добутку радіуса описаної і вписаного кола. При цьому, радіус описаної дорівнює довжині медіани, яка йде до середини гіпотенузи. А радіус вписаного обчислюємо через властивість центру трикутника ділити кожну медіану на дві частини у співвідношенні 2: 1. Всі отримані значення вставляємо в формулу і отримуємо площа прямокутного трикутника.
Як знайти периметр трикутника? Трикутник - це одна з базових фігур, утворена трьома присікати відрізками прямих. Точки перетину називаються вершинами, а самі відрізки сторонами трикутника. Периметр трикутника - це сума довжин його сторін. Знаходити площа трикутника вчать ще в…
Як знайти площу геометричної фігури? svojstvo.ruУ цій інструкції я привожу перелік всіх формул для знаходження площ будь-якої геометричної фігури, які вивчаються в шкільній програмі і які є в ДПА з математики. Якщо ви хочете здати іспит на чотири або п'ять (а хто цього не хоче!)…
Як вирішувати завдання на знаходження відсутніх елементів трикутника? Думаю, кожна людина знає, що таке трикутник, тому ще раз пояснювати не буду. У сьогоднішній статті ми розглянемо основні завдання на трикутники, які найбільш часто зустрічаються в першій частині ДПА і ЄДІ з математики і вимагають знайти невідомий…
Як вирішити задачу Г26 ДПА з математики? Г26 - завдання з другої частини іспиту. Зрозуміло, при вирішенні такого роду олімпіадних завдань використовуються теореми і властивості, що не проходяться по шкільній програмі. У цьому і складність. Умова задачі: бісектриси бічних кутів А і Б при…
Як знайти висоту трикутника? Обчислення висоти трикутника залежить від самої фігури (рівнобедрений, рівносторонній, різнобічний, прямокутний). У практичній геометрії складні формули, як правило, не зустрічаються. Достатньо знати загальний принцип обчислень для того, щоб він міг…
Як знайти периметр трикутника Всім відомо, що периметр знайти простіше простого - треба всього лише скласти всі три сторони трикутника. Однак існує кілька інших способів, за допомогою яких можна знайти суму довжин сторін трикутника.ІнструкціяРівень складності: Нескладно1 крок…
Як вирішувати завдання на площу рівностороннього трикутника? ru.wiktionary.orgРівносторонній трикутник, як видно з назви - це трикутник, у якого всі сторони рівні. Його також можна дізнатися за іншою ознакою: всі кути рівні 60 градусам. У цій інструкції ми розглянемо рішення задач на площу рівностороннього…
Як знаходити площа кола Коло - Це геометрична фігура, кордон якої визначена колом. Остання являє собою сукупність точок, рівновіддалених від центру кола. Відстань від центральної точки до будь-якої з точок кола називається радіусом і позначається латинською літерою «R».…
Як знайти об'єм конуса Геометрія наука непроста, але корисна. Всі ми в школі проходили обчислення обсягів тривимірних тіл, але не всі добре пам'ятають формули цих обчислень. Ця стаття допоможе вам освіжити в пам'яті знання про те, як знайти об'єм конуса. Дана тривимірна…
Як знайти площу прямокутника Однією з найпростіших двовимірних геометричних фігур є прямокутник (Правильний чотирикутник). Ця фігура використовується в навколишньому світі досить часто, тому нерідко нам доводиться ламати голову над тим, як знайти площа прямокутника - Наприклад,…
Як знайти площу рівнобедреного трикутника Для того, щоб знаходити площа рівнобедреного трикутника, необхідно розібратися з тим, що він із себе представляє. В геометрії розрізняють правильну (рівносторонній), прямокутну, різнобічну, равнобедренную, гострокутну і тупоугольного…
Як знайти середню лінію трикутника Середня лінія будь-який з фігур в планіметрії являє собою відрізок, який з'єднує середину двох сторін цієї фігури. Дане поняття можна вживати по відношенню до трикутної фігурі, чотирикутнику, а також по відношенню до трапеції. З визначення можна…
Як знайти висоту в прямокутному трикутнику Трикутник - Це одна з найвідоміших геометричних фігур. Його використовують повсюдно - не тільки на кресленнях, але і в якості предметів інтер'єру, деталей різноманітних конструкцій та будівель. Існує кілька видів даної фігури - прямокутний один з…
Як знаходити периметр трикутника Трикутник - Це фігура з трьома сторонами (гранями). В геометрії прийнято позначати межі маленькими латинськими літерами (a, b, c). Периметр фігури - Це сума всіх її граней. Відповідно, для того щоб знайти периметр трикутника вам потрібно знати…
Як знайти радіус описаного кола Для початку давайте розберемося з терміном - окружність є описаної лише в тому випадку, якщо стосується всіх вершин багатокутника. Варто відзначити, що коло можна описати навколо багатокутника лише в тому випадку, якщо всього його сторони і кути є…
Як знайти бічну сторону рівнобедреного трикутника Трикутник є таким, у якого між собою рівні дві сторони, а третя вважається підставою. Щоб визначити розмір бічної сторони, необхідно знати радіус кола, описаного навколо нього, або один з кутів і довжину іншого боку. Залежно від того, яка величина…