Як додавати дроби з різними знаменниками

Незважаючи на те, що ця процедура досить проста, і вивчають її виконання ще на зорі шкільної біографії, багато її так і не засвоюють. А хтось без жодного розуміння виконує по завченому алгоритмом. Забув алгоритм - і все, далі без хорошого калькулятора (здатного впоратися з цим завданням, є такі) не обійтися. Їм на допомогу - ця інструкція.

Для початку згадаємо теорію. І саме визначення звичайного дробу. Як відомо, дріб - це число, складене з однієї або декількох рівних часток одиниці. Уявімо собі торт (одиницю), розрізаний на 6 рівних шматків. Незнайка взяв собі один кусок - значить, у нього 1/6 торта. Але цього йому здалося мало, і він від іншого такого самого торта, який був розрізаний на 8 рівних частин, взяв 3. Так як же оцінити, яка частина торта в сумі дісталася Незнайку? Для відповіді на це питання потрібно скласти дві дроби: 1/6 і 3/8.

Але ж якби обидва торта були поділені на 6 * 8 = 48 шматків, то тоді можна вважати, що від першого Незнайку дісталося (48/6)1 = 8 шматків, а від другого - (48/8)3 = 18 шматків. А в сумі це 8 + 18 = 26 шматків від торта, поділеного на 48 частин. Цей результат можна представити у вигляді дробу 26/48. Після скорочення отримаємо відповідь: 13/24. Тобто, те, що взяв собі Незнайка від двох тортів, рівноцінно тому, що він взяв би 13/24 одного торта - 13 шматків торта, поділеного на 24 рівні частини.

Таке міркування вірно, але трохи математично «некультурно». Тому що такий прямий шлях приводить звичайно до громіздким обчисленням там, де можна було б легко виконати обчислення в розумі. Адже фактично ми привели дроби 1/6 і 3/8 до спільного знаменника 48. А можна було б привести до іншого, меншого. Навіщо? Просто щоб оперувати потім меншими числами. Тому «культурно» було б розкласти знаменники обох дробів на множники (2 * 3 і 2 * 4) і записати найменше спільне кратне (2 * 3 * 4 = 24). Значить, можна уявити, що обидва торта були поділені на 24 частини. Від першого Незнайку дісталося (24/6)1 = 4 шматки, від другого (24/8)3 = 9 шматків. А в сумі це 4 + 9 = 13 шматків від торта, поділеного на 24 рівні частини. Тобто, 13/24 торта. Як бачимо - той же результат, а всі проміжні обчислення були з меншими числами, ніж у першому випадку.

Знаходимо НОК знаменників

Потрібно знайти найменше спільне кратне (НОК) знаменників всіх доданків (тобто знайти найменше натуральне число, яке ділилося б на знаменники всіх дробів без залишку).

Наприклад:
а) 1/8 і 3/56. НОК = 56.
б) 2/7 і 9/11. НОК = 7 * 11 = 77.
в) 1/6 і 5/21. Розкладаємо знаменники на прості множники: 6 = 2 * 3, а 21 = 3 * 7. Тоді НОК = 3 * 2 * 7 = 42.

Наводимо дроби до найменшого спільного знаменника.

Найменший спільний знаменник - це вже знайдене в пункті 1 НОК. Залишається:
- для кожного знаменника визначити додатковий множітель-
- чисельник і знаменник кожного дробу помножити на відповідний додатковий множник її знаменника.

Приклад: складаємо 1/3 і 1/2.

Перше коло розділений на 3 частини, і з нього взято 1 частина (тобто 1/3). Другий розділений на 2 частини, і взята 1 частина (тобто 1/2).

Знаменники (3 і 2) цих дробів не мають спільних дільників (крім одиниці). Тому найменше їх спільне кратне дорівнює 3 * 2 = 6. Це означає, що обидва кола потрібно б розділити на рівних 6 частин. Тоді які ж частини кола ми маємо? Згадаймо основну властивість дробу: при одночасному збільшенні або зменшенні чисельника і знаменника в однакове число раз дріб не зміниться. Ми у скільки разів збільшили перший знаменник? Ділимо 6 на 3, отримуємо 2. Значить, в 2 рази. У стільки ж разів збільшуємо і чисельник цього дробу: 2 * 1 = 2. Переходимо до другої дробу. У скільки разів збільшили знаменник? Ділимо 6 на 2, отримуємо 3. У скільки разів потрібно збільшити чисельник цього дробу? У 3 рази: 3 * 1 = 3. Які дроби ми повинні тепер складати? Це 2/6 і 3/6.

Складаємо дроби з однаковими знаменниками. Простіше нікуди: скласти числители, а знаменник залишити колишнім.

Наприклад, 2/6 + 3/6 = 5/6.

Якщо в результаті вийшла неправильна дріб (чисельник більше знаменника), то треба представити її у вигляді змішаного числа (що складається з цілої і дробової частин). Наприклад, вийшло 7/4. Ціла частина дорівнює 1, залишок від ділення 7 на 4 дорівнює 3. Значить, відповідь можна представити у вигляді змішаного числа «одна ціла, три четвертих».